چگونه ریاضی را صد بزنیم؟

در پایه نهم، فصل پنجم، دانش‌آموزان با عبارت‌های جبری و همچنین با اتحادهایی نظیر، اتحاد مربع مجموع دو جمله، مربع تفاضل دو جمله، مزدوج و جملۀ مشترک و تجزیۀ آن‌ها و همچنین در فصل هفتم پایۀ نهم با عبارات گویا، ساده کردن و اعمال جبری روی عبارات گویا آشنا شده‌اند. در این فصل که شامل دو درس می‌باشد. در درس اول، دانش‌آموزان پس از مرور مطالب مربوط به اتحادهای سال گذشته با استفاده از خاصیت ضرب عبارات جبری و انجام کار در رده‌ها و فعالیت‌ها به اتحادهای جدیدی نظیر اتحاد مکعب دوجمله‌ای و اتحاد تفاضل و مجموع مکعب دوجمله‌ای و تجزیۀ آن‌ها دست می‌یابند. نکته حائز اهمیت در فعالیت‌های این درس، این است که رسیدن به اتحادهای جبری با توجه به مثلث خیام صورت گرفته است و در این راستا باید توجیه کامل دانش‌آموزان در خصوص مثلث خیام انجام گیرد و پس از رسیدن به اتحاد موردنظر، دانش‌آموزان باید بتوانند آن اتحاد را به‌صورت یک عبارت کلامی بیان کنند.

درس دوم: یادآوری و تکمیل مطالب مربوط به ساده کردن و جمع و تفریق عبارات گویا می‌باشد. از آنجایی که در درس اول مطالب مربوط به اتحادهای سال نهم کامل گردید. در این درس نیز ساده کردن عبارات گویا و اعمال جبری روی عبارات گویا با کمک این اتحادهای جدید مطرح می‌گردد و مطالب مربوط به عبارات گویا به‌صورت کامل بیان می‌شود. همچنین در جمع و تفریق عبارات گویا، مبحث مخرج مشترک گیری نیز عنوان می‌گردد.

در فرایند آموزشی این درس انتظار می‌رود که دانش‌آموزان به اهداف زیر برسند:

1) شناسایی عبارت‌های گویا و تشخیص آن‌ها از عبارات غیر گویا

2) توانایی ساده کردن عبارات گویا

3) توانایی جمع و تفریق عبارات گویا و مخرج مشترک گیری بین آن‌ها

4) به دست آوردن مقادیری از متغیرها که به ازای آن‌ها، مقدار عددی عبارات گویا تعریف نمی‌شود.

هدف از این درس کامل کردن مطالب مربوط به عبارات گویای سال گذشته، اعم از ساده کردن و جمع و تفریق عبارات گویا، می‌باشد. برای همین منظور، ابتدا با یادآوری تشخیص عبارات گویا از عبارات غیر گویا، فعالیت و کار در کلاسی طراحی‌شده است و سپس با انجام کار در رده‌ها و فعالیت‌های بعدی هدف اصلی درس تحقق می‌یابد.

1) در ساده کردن عبارات گویای مرکب، از دانش‌آموزان بخواهید که تجزیه عبارت‌های جبری را به خاطر بیاورند و سپس به آن‌ها توصیه کنید که از روشی استفاده کنند که برای آن‌ها راحت‌تر و قابل‌فهم‌تر است.

2) در حالت کلی، اکثر دانش‌آموزان با مخرج مشترک گیری ساده نیز مشکل دارند، بنابراین توصیه می‌شود ضمن یادآوری مخرج مشترک گیری ساده، در مبحث جمع و تفریق عبارات گویا، مخرج مشترک گیری عبارات گویا را مفصل برای دانش‌آموزان تفهیم فرمایید.

مطالب این فصل با معادله درجه اول شروع‌شده که هدف آن مهارت دانش‌آموز در مدل‌سازی یک معادله توسط یک ترازو می‌باشد که بتوان در مورد تعداد جواب‌های یک مسئله بحث کرده، سپس با اطلاعات مسئله تشکیل یک معادله داده و مهارت تشکیل دادن یک معادله را تجربه کرده، سپس به حل آن بپردازد. بعد با بیان مثالی که از کتاب نهم اقتباس‌شده با داشتن قطر مربعی می‌خواهد محیط را به دست آورد. سرانجام معادله‌ای از درجه بالاتر را معرفی می‌کند که به این معادله درجه دوم می‌گویند.

در ادامه جواب‌های معادله را با حدس زدن و سپس روش‌ها و فنون حل معادله درجه دوم بیان می‌کند و همچنین با داشتن جواب‌های یک معادله می‌توان آن معادله را تشکیل داد که آن معادله منحصربه‌فرد نیست و سپس با بیان چند مسئله مهارت ساختن معادله درجه دوم را بیان می‌کند که در اینجا سعی شده از مثال‌هایی استفاده کنند که دانش‌آموزان رشته انسانی با آن‌ها سروکار دارند مثل مفاهیم تابع سود، درآمد، هزینه، نقطه سربه‌سر و در انتها با نوع دیگر معادلات که آن‌ها را معادلات کسری یا گویا می‌گویند آشنا می‌شوند تا بتوانند با استفاده از آن، مسائل کاربردی را از طریق معادلات گویا حل کنند. البته به‌طور مختصر فقط با مفهوم روابط بین ضرایب و ریشه‌ها آشنا می‌شوند.

در فرایند آموزشی این درس انتظار می‌رود که دانش‌آموزان به اهداف زیر برسند:

1) مهارت مدل کردن یک معادله به ترازو

2) مهارت تشکیل یک معادله درجه اول و سپس حل آن

3) معرفی معادله درجه دوم

4) با داشتن ریشه‌های معادله درجه دوم قادر به ساختن معادله درجه دوم باشند.

در فرایند آموزشی این درس انتظار می‌رود که دانش‌آموزان به اهداف زیر برسند:

1) حل معادلات کسری یا گویا

2) بتوانند مسائل کاربردی را از طریق معادلات گویا حل کنند.

معمولاً این‌گونه مسائل برای دانش‌آموزان یک مقدار مشکل می‌باشد که اگر قرار باشد یک معادله را به معادلات گویا تبدیل کنند بهتر است در این زمینه مسائل مختلف داده شود تا دانش‌آموز بتواند با این مسائل ارتباط برقرار

کند.

در جواب مسائل گویا یا کسری به‌ویژه آن‌هایی که کاربردی هستند امکان دارد جوابی به دست آید که مخرج را صفر نکند ولی قابل‌قبول هم نباشد مثلاً زمان یا تعداد روزها که منفی درآید.

این فصل شامل ۴ درس است. دانش‌آموزان در این کتاب برای اولین بار با مفهوم تابع، ضابطه جبری تابع و توابع درجه دوم و رسم آن‌ها آشنا می‌شوند.

درس اول از این فصل در ابتدا به معرفی رابطه بین پدیده‌های مختلف در دنیای واقعی می‌پردازد و رابطه بین پدیده‌ها در جهان طبیعت را به‌عنوان ارتباط بین دو متغیر مختلف معرفی می‌کند. سپس به رابطه خطی از کتاب نهم اشاره‌کرده و به مفهوم تابع می‌پردازد.

درس دوم رابطۀ بین x به‌عنوان متغیر مستقل و y به‌عنوان متغیر وابسته را با یک قانون با ضابطه معرفی می‌کند و در ادامه دامنه و برد معرفی‌شده و موردبررسی قرار می‌گیرد.

درس سوم ضمن یادآوری رابطه خطی کتاب نهم با مشخص کردن نقاط در صفحه محورهای مختصات و قرار گرفتن نقاط در یک راستا در کنار هم به معرفی تابع خطی و رسم نمودار آن می‌پردازد.

درس چهارم با معرفی تابع درجه دوم و رسم آن به کمک جدول و نقطه‌یابی و پیدا کردن مختصات رأس سهمی، به معادله محور تقارن و مسائل کاربردی این نوع تابع اشاره دارد.

درک مفهوم رابطه بین دو کمیت

آشنایی با متغیرهای مستقل و وابسته و درک رابطه بین آن‌ها

آشنایی با تعریف زوج مرتب

درک مفهوم تابع

آشنایی با نمایش‌های مختلف تابع (توصیفی، جدولی ….)

تشخیص قانون بین متغیرهای x و y

تعیین دامنه و تعیین برد توابع با معلوم بودن ضابطه و دامنه

تابع خطی را تشخیص دهند.

نمودار تابع خطی را به کمک ضابطه آن رسم کنند.

پدیده‌های خطی در زندگی روزمره را تشخیص دهند.

تابع درجه دوم را تشخیص دهند.

نمودار تابع درجه دوم را به کمک نقطه‌یابی رسم کنند.

نمودار تابع درجه دوم را با داشتن رأس و نقاط کمکی طرفین رسم کنند.

در حل مسائل کاربردی مرتبط تابع درجه دوم را تشکیل دهند.

در این فصل کتاب، دانش‌آموزان با علم آمار و مفاهیمی که در آن به کار می‌رود آشنا می‌شوند.

درس اول از این فصل به معرفی داده، جامعه آماری، نمونه تصادفی می‌پردازد و مفاهیم آمارگیری و آمارگر را بیان می‌کند. سپس به انواع روش‌های گردآوری داده‌ها (مشاهده، پرسشنامه، مصاحبه، دادگان) و تفاوت‌ها و کاربرد آن‌ها می‌پردازد. در این درس متغیرها (کمی و کیفی) و انواع آن (اسمی، ترتیبی فاصله‌ای، نسبتی)، که درواقع ویژگی‌های داده آماری است، موردبررسی قرار می‌گیرد. همچنین درنهایت تعریفی از علم آمار آورده می‌شود.

در درس دوم معیارهای گرایش به مرکز (میانگین، میانه) معرفی می‌شوند و کاربرد آن‌ها و مصداق‌هایی برایشان گذاشته شده است. همچنین داده دورافتاده و تأثیر آن بر این دو گرایش موردبررسی قرار می‌گیرد. مد نیز در حاشیه‌این درس برای دانش‌آموزان معرفی می‌شود.

در درس سوم بررسی معیارهای پراکندگی (انحراف استاندارد- واریانس) صورت می‌گیرد و محاسبه این مقادیر با مثال صورت می‌گیرد. همچنین روی مقدار انحراف استاندارد از میانگین (دو برابر، یک برابر، سه برابر) بحث شده و کاربرد آن مطرح می‌شود. در ادامه این درس چارک‌ها و دامنه میان چارکی و دلیل استفاده آن بیان می‌گردد. تمام مجموعه مطالب این فصل آمار توصیفی را معرفی می‌کند.

در فرایند آموزشی این درس، انتظار می‌رود که دانش‌آموزان به اهداف زیر برسند:

1. درک دقیق از مفهوم داده و واحد آماری داشته باشند.
2. جامعه آماری را درک کنند و برای آن مصداق پیدا کنند.
3. نمونه تصادفی را توصیف کنند و مثال‌هایی برای آن بیان کنند.
4. انواع روش‌های گردآوری داده‌ها (مشاهده، پرسش‌نامه، مصاحبه، دادگان) را درک کرده و برای هر یک مثالی بیاورند.
5. درک دقیق از «پارامتر» و «آماره» داشته باشند و تفاوت آن‌ها را تشخیص دهند.
6. مفهوم متغیر را درک کنند و تفاوت آن را با داده بیان کنند.
7. انواع متغیرها را بشناسند و تفاوت‌های آن‌ها را درک کنند.
8. برای «آمار» بیان توصیفی شفافی بیاورند.

مفهوم میانگین که یکی از معیارهای گرایش مرکزی است را درک کنند.

با طریقۀ به دست آوردن میانگین داده‌ها آشنا شوند.

مفهوم میانه معیار دیگر گرایش مرکزی را درک کنند و مصداقی برای آن بیاورند.

طریقه تعیین میانه داده‌ها را تشخیص دهند.

درک دقیقی از داده‌های دورافتاده در داده‌های آماری داشته باشند

تأثیر داده‌های دورافتاده در میانگین و میانه را درک کنند.

مد، یکی دیگر از معیارهای گرایش مرکزی را درک و مصداقی برای آن پیدا کنند.

دانش‌آموزان مفهوم میانگین موزون را درک کرده و مصداقی برای آن بیان کنند.

دانش‌آموزان با نمایش داده‌های گردآوری‌شده در یک آمارگیری و کاربرد نمودارها آشنا می‌شوند. هدف این فصل کار با نمودارهاست نه رسم نمودارها.

در درس: نمودارهای یک متغیره (نمودار میله‌ای، نمودار دایره‌ای) با مطرح‌شدن فعالیت و کار در کلاس برای دانش‌آموز یادآوری می‌شود.

همچنین با رسم مدل‌های مختلف از نمودارها و ایجاد چالش برای دانش‌آموزان ایرادهای نمودارها را متذکر می‌شود. و بر این نکته تأکید می‌شود که «نمودارها باید به‌گونه‌ای رسم شوند که از آن‌ها سوءبرداشت نشود و بی‌طرفی را حفظ کنند.» در ادامه دانش‌آموزان با نمودار نقطه‌ای و نمودار جعبه‌ای آشنا شده و طریقه رسم آن‌ها و کاربرد این دو نمودار برایشان مشخص می‌شود. همچنین در حاشیه‌ای از کتاب درباره نمودارهای میله‌ای افقی و در متن کتاب توضیحاتی داده می‌شود.

دانش‌آموزان با نمودارهای چند متغیره (نمودار حبابی، نمودار راداری عنکبوتی) آشنا می‌شوند و با ارائه مثال‌هایی، کاربرد این نمودارها آموزش داده می‌شود.

در فرایند آموزشی این درس انتظار می‌رود که دانش‌آموزان به اهداف زیر برسند:

1) نمودار میله‌ای و کاربرد آن را درک کنند.

2) مدل‌های مختلف نمودار میله‌ای را بشناسند و ایرادهای آن‌ها را درک کنند.

3) درک دقیق از نمودار دایره‌ای و کاربرد آن داشته باشند.

4) تفاوت رسم نمودار دایره‌ای در حالت دوبعدی و سه بعدی را درک کنند.

5) نمودار میله‌ای را درک کرده و مصداقی برای آن بیاورند.

6) با نمودار جعبه‌ای آشنا شوند و طریقه رسم آن را درک کنند.

7) کاربرد نمودار جعبه‌ای و تفسیر آن را بیان کنند.

8) درک دقیقی از نمودار میله‌ای افقی داشته باشند.

دانش‌آموزان در این فصل با مبانی منطق ریاضی و کاربرد آن در برخی زمینه‌های مختلف آشنا می‌شوند. پیدایش بسیاری از نظریه‌های علم ریاضی، نتیجۀ استدلال است و ما برای مطالعۀ شاخه‌های مختلف ریاضیات، به استدلال نیاز داریم؛ بنابراین، لازم است تعاریف، اصطلاحات و علامت‌هایی را که به کمک آن‌ها مفاهیم ریاضی را از طریق استدلال بیان می‌کنیم، بشناسیم به این منظور به علم منطق رجوع می‌کنیم.

مطالب این فصل شامل دو درس است. درس اول به مفهوم گزاره از دید علم ریاضی یا به‌طور دقیق‌تر، منطق ریاضی می‌پردازد و وجوه تمایز آن با آنچه در محاوره از مفهوم گزاره به ذهن متبادر می‌شود را بیان می‌کند. در ادامه، انواع گزاره‌های موجود در منطق ریاضی مطرح می‌شود. در این بخش فقط به ساده‌ترین انواع گزاره‌ها پرداخته‌شده است. در ضمن انواع و ارزش هر یک از گزاره‌ها از طریق جدول ارزش گزاره‌ها بررسی‌شده است. در درس دوم (استدلال ریاضی) ضمن برقراری ارتباط با مباحث درس منطق که دانش‌آموزان رشته علوم انسانی و معارف اسلامی می‌گذرانند، از دیدگاه ریاضیاتی به همان مطالب پرداخته می‌شود؛ بنابراین با مثال‌های ساده و مبتنی بر دانش قبلی این دانش‌آموزان از زاویه دید استدلالی موضوعات آشنای ریاضی بررسی می.شود. دبیران و دانش‌آموزان از این رهگذر با بدفهمی‌های رایج در ریاضی آشنا می‌شوند و آن‌ها را برطرف می‌کنند.

هر درس شامل مثال‌هایی است تا دانش‌آموزان با الگو گرفتن از آن‌ها به «فعالیت» و «کار در کلاس» بپردازند و به درک بهتری از موضوع درس برسند.

در پایان هر درس نیز تمرینات مختلفی، منطبق بر «فعالیت» و «کار در کلاس»، ارائه‌شده است تا دانش‌آموزان با حل آن‌ها میزان تسلط خود بر مطالب را ارزیابی کنند.

1) آشنایی با مفهوم منطق ریاضی و کاربرد آن

2) آشنایی با مفهوم گزاره‌ها و تعیین ارزش آن‌ها

3) مهارت چگونگی ساختن نقیض عکس نقیض و عکس گزاره‌ها

4) آشنایی با ترکیب گزاره‌ها و جدول ارزش‌ها

5) مهارت در بررسی درستی گزاره‌های هم‌ارز با استفاده از جدول ارزش‌ها

6) تشخیص استدلال‌های معتبر از استدلال‌های نامعتبر

روش تدریس

دانش‌آموزان در سال دهم، درسی به نام منطق را گذرانده‌اند و با مبحث منطق و تا حدی با گزاره‌ها و ترکیب گزاره‌ها آشنایی دارند. در ابتدای درس، برای یادآوری، علم منطق و همچنین کاربرد آن، به‌اختصار، بیان‌شده سپس تعریف گزاره و چند مثال ذکرشده است.

فعالیت صفحۀ ۲ کتاب، برای مهارت در تشخیص گزاره بودن جملات است تا دانش‌آموزان بدانند شرط درستی یا نادرستی گزاره این است که جملۀ خبری معنادار باشد. قسمت الف سؤال ۱، جمله پرسشی است، پس گزاره نیست. قسمت ب، گزاره است و ارزش آن درست است. قسمت ب، گزاره است و ارزش آن نادرست است. قسمت ت گزاره و ارزش آن نادرست است. قسمت ث، گزاره و ارزش آن نادرست است.

 در جمله قسمت ج کلمۀ «همواره» آمده پس گزاره است و ارزش آن نادرست. قسمت ج، گزاره نیست؛ چون کلمه «خوشمزه» دارای مفهومی نسبی است. قسمت ح، جمله امری است. پس گزاره نیست.

بعد از تشخیص گزاره بودن جملات، در سؤال ۲ از دانش‌آموزان خواسته‌شده تا با درک و خلاقیت خودشان دو گزارۀ درست و دو گزارۀ نادرست و همچنین دو جمله که گزاره نباشند را مثال بزنند.

هدف کلی این درس، آشنایی دانش‌آموزان با گوشه‌ای از استدلال ریاضی و اهمیت آن است.

اهداف جزئی این درس به قرار زیر است:

1) تبدیل عبارات کلامی به عبارات ریاضی (بدون حل مسئله ریاضی به‌دست‌آمده؛

2) استفاده از منطق گزاره‌ها برای بررسی صحت استدلال‌های ریاضی که در درس اول با آن‌ها آشنا شدند.

3) اثبات یک گزاره ریاضی جزء اهداف این درس نیست و مثال‌های ذکرشده فقط برای آشنایی دانش‌آموزان با نحوه استدلال ریاضی است.

روش تدریس

در ابتدای درس، با ارائه مثال‌هایی به دانش‌آموز این انگیزه داده می‌شود که استفاده از ریاضی برای استدلال به وضوح گزاره‌ها و عبارات و تشخیص درستی یا نادرستی استدلال‌ها کمک می‌کند. این مثال‌ها با یک مسئله که در فصل اول کتاب ریاضی و آمار ۱ آمده است، (به‌صورت نیمه حل‌شده) شروع می‌شود. لازم است که دبیران محترم با یادآوری آن سؤال از آشنایی دانش‌آموزان با برخی مفاهیم مقدماتی مانند اعمال روی عبارات جبری اطمینان حاصل کنند (ارزشیابی تشخیص)، ادامه درس، اهمیت استدلال ریاضی مبتنی بر منطق گزاره‌ها و استفاده از ریاضی در استدلال را آشکار می‌کند.

در ابتدای درس، با ذکر ۳ مثال حل‌شده اهمیت استفاده از ریاضی در خلاصه‌سازی عبارات کلامی و واضح‌سازی معنایی که در یک عبارت نهفته است نشان داده می‌شود.

در «کار در کلاس» صفحه ۱۳ از دانش‌آموزان خواسته‌شده که مشابه مثال‌های قبل، عبارات کلامی داده‌شده را به یک عبارت ریاضی برگردانند. لزوم کسب این مهارت برای دانش‌آموزان رشته‌های علوم انسانی و معارف اسلامی در آن است که این سنخ تبدیلات یا مشابه آن‌ها در فلسفه‌های متأخر (از جمله فلسفه تحلیلی) بسیار شایع است. از سوی دیگر در فرایند تبدیل عبارات کلامی به عبارات ریاضی، دانش‌آموزان قدرت ذهنی انتزاعی سازی مفاهیم را که در بسیاری از حوزه‌های علوم انسانی (مانند فلسفه، منطق و حقوق) کاربرد دارد و از شالوده‌های اصل نظریه‌پردازی در این حوزه‌هاست، فرامی‌گیرند.

در ادامه در صفحه ۱۴ به یک نوع از انواع قیاس‌ها، که دانش‌آموزان رشته علوم انسانی در درس منطق خود فرامی‌گیرند، پرداخته‌شده است. این نوع قیاس در استدلال‌های ریاضی بسیار بر کاربرد است. در این درس مثالی از کاربرد ناصحیح ابن قیاس آورده شده، تا بدفهمی‌های رایج از ساختار این قیاس رفع شود.

دبیر محترم می‌تواند مشابه این نوع مثال‌ها را در کتاب منطق بیابد.

یکی از مهم‌ترین علل بی‌علاقگی دانش‌آموزان به درس ریاضی، تصور مرتبط نبودن مفاهیم ریاضی با زندگی روزمره است. در مقابله با این تصور، از اوایل دهه ۱۹۷۰ حرکتی در آموزش ریاضی توسط ریاضی‌دان هلندی، فرودنتال، به نام ریاضیات واقعیت مدار “Realistic Mathematics Education” شکل گرفت. این تفکر در مقابل آموزش سنتی ریاضی است که بر انجام محاسبات عددی صرف و توجه اندک به کاربردهای مسئله تأکید داشت. آموزش ریاضی واقعیت مدار، بر این اعتقاد استوار است که ریاضی یک فرایند و فعالیت انسانی است و باید به واقعیت و مسائل جامعه متصل باشد.

از ویژگی‌های دیگر این حرکت نوین در آموزش ریاضی موارد زیر است:

1) دانش‌آموز نباید دریافت‌کننده منفعل مفاهیم از پیش آماده‌شده ریاضی باشد، بلکه باید به سمت فرصت‌هایی برای بازآفرینی ریاضی از طریق انجام دادن آن باشد.

2) ریاضی یک فعالیت طبیعی و اجتماعی است.

3) لازم است دانش‌آموز درک ریاضی خود را از طریق کار روی زمینه‌هایی که برای او بامعنا است، تجربه کند.

4) نظام آموزش ریاضی باید در دانش‌آموز نسبت به محیط پیرامون خود، نگاه کنجکاوانه ایجاد کند این نگاه می‌تواند انگیزه‌ای برای پذیرش مسئولیت‌های اجتماعی در سال‌های آینده از سوی دانش‌آموز باشد.

5) فلسفه آموزش ریاضی، رسیدن به نگاهی دقیق‌تر و علمی‌تر به پیرامون است.

شناخت و قبول این ویژگی‌های، مسئولیت ما را در چگونگی آموزش و گسترش مفاهیم ریاضی به دانش‌آموزان دوچندان می‌کند.

اهداف کلی

1) معرفی توابع ثابت همانی، چند ضابطه‌ای پلکانی و قدر مطلق؛

2) شناخت این توابع در مسائل واقعی و کاربردهای آن‌ها؛

3) مدل‌سازی مسائل واقعی و تفسیر نمودار توابع و ارتباط آن‌ها با دنیای واقعی؛

4) نگاه علمی به حل مسائل؛

5) آشنایی با روش «حل مسئله» و طرح مسائل «باز پاسخ»

6) آشنایی با چهار عمل جمع، تفریق، ضرب و تقسیم میان توابع.

تاریخچه مختصر حل مسئله

سال 1945 میلادی را می‌توان نقطه عطفی در تاریخ حل مسئله به شمار آورد. در این سال، اثر بزرگ جورج بولیا به نام «چگونه مسئله را حل کنیم» منتشر شد که منشأ تحول عظیمی در آموزش ریاضی، به‌ویژه در دوره‌های آموزش عمومی در سطح جهان گشت.

آموزش ریاضی و حل مسئله، کم‌وبیش موردتوجه آموزشگران ریاضی بوده است، هرچند نمی‌توان شروع دقیقی را برای آموزش ریاضیات ذکر کرد، اما شاید بتوان سقراط را اولین کسی دانست که با این روش، به آموزش مفاهیم ریاضی پرداخت تأثیر سقراط بر حل مسئلۀ ریاضی به حدی بود که به گفتۀ بولیا بر «روش حل مسئله» نام «روش سقراطی» نیز نهادند.

حل مسئله به‌عنوان استراتژی در تدریس

استراتژی حل مسئله از دیدگاه جورج بولیا در چهار مرحله زیر صورت می‌گیرد:

1) درک و فهم مسئله، (در مسئله چه چیز خواسته‌شده است؟)

2) شناخت عمیق‌تر مسئله و طراحی نقشه. (اجزای مختلف مسئله چگونه به‌هم‌پیوسته‌اند و ارتباط مجهول با داده‌های مسئله از چه قرار است؟)

3. اجرای نقشه برای حل مسئله (این مرحله در گرو اجرای درست مراحل ۱ و ۲ است. در حقیقت، کار عمده در حل مسئله دست یافتن به تصور اندیشه‌ای درباره نقشه و اجرای آن است.)
4. دوباره نگری (بازگشت به عقب) و کنترل اجرای صحیح نقشه.

مرحله دوباره نگری بولیا، شامل فعالیت‌هایی مانند این موارد است: تصدیق نتیجه، جست‌وجو برای روش‌های بدیل حل‌ها، مشخص ساختن اعتبار یک بحث به کار بستن نتیجه با راه‌حل مسئله در مسئله‌های دیگر، تفسیر نتیجه تعمیم راه‌حل‌ها و تولید مسئله‌های جدید برای حل.

شاید مهم‌ترین جنبه تدریس حل مسئله دوباره نگری باشد؛ زیرا برای دانش‌آموزان فرصت یادگیری را درباره فرایندهای حل مسئله و اینکه مسئله چگونه با سایر مسئله‌ها مرتبط است ایجاد می‌کند.

1) یادآوری مفاهیم تابع دامنه و برد و روش‌های مختلف نمایش تابع؛

2) معرفی تابع‌های ثابت چند ضابطه‌ای و همانی و شناخت آن‌ها در مسائل واقعی؛

3) تأثیر و توجه به دامنه تابع در رسم نمودار تابع؛

4) تشخیص متغير مستقل و وابسته در هر مسئله با توجه به واحدهای معرفی‌شده برای محورهای مختصات؛

5) مهارت مدل‌سازی مسائل واقعی به کمک تابع و مهارت تحلیل نمودار یک تابع با مسائل واقعی؛

6) آشنایی با روش «حل مسئله»؛

7) ارتباط و کاربرد شاخه‌های گوناگون دانش ریاضی با یکدیگر، مانند ارتباط آمار و تابع.

1) معرفی تابع پلکانی و شناخت آن در مسائل واقعی؛

2) مفهوم سطح زیر نمودار یک تابع با توجه به متغیر مستقل و وابسته؛

3) معرفی تابع جزء صحیح و رسم آن؛

4) معرفی تابع قدر مطلق و کاربرد آن برای توصیف و تحلیل دقیق و علمی مسائل پیرامون؛

5) تبديل تابع قدر مطلق به دو ضابطه و برعکس؛

6) مدل‌سازی مسائل واقعی به کمک تابع پلکانی و تابع قدر مطلق؛

7) رسم نمودار توابع قدر مطلق.

آشنایی با تعیین دامنه در اعمال میان توابع؛

آشنایی با اعمال میان توابع به کمک ضابطه توابع؛

آشنایی با اعمال میان توابع به کمک زوج مرتب‌ها و رسم نمودار آن‌ها؛

نگاه علمی به حل یک مسئله در خانواده و اجتماع.

دانش‌آموز در دوره ابتدایی و متوسطه اول، با علم آمار به‌عنوان علم گردآوری اطلاعات و پردازش آشنا شده و رسم انواع نمودارها را در حد مطلوبی فراگرفته است. در دورۀ متوسطۀ دوم و در کتاب ریاضی و آمار رشته انسانی ضمن جمع‌بندی و تکمیل مطالب دوره‌های قبل، با طریقه گردآوری داده‌ها و معیارهای گرایش به مرکز و پراکندگی که می‌توانند به ما در تصمیم‌گیری کمک کنند، آشنا شده‌اند.

این فصل شامل دو درس است: در درس اول با عنوان «شاخص‌ها» دانش‌آموزان با برخی از شاخص‌های آمار رسمی آشنا می‌شوند و می‌آموزند که آمار چگونه در علوم مختلف نظیر اقتصاد، جامعه‌شناسی، زبان‌شناسی و تربیت‌بدنی در زندگی روزمره و همچنین تحصیلاتشان نقش خواهد داشت. در درس دوم با عنوان «سری‌های زمانی»، دانش‌آموزان با یکی از انواع مدل‌سازی آماری و همچنین پیش‌بینی آشنا می‌شوند.

آگاهی از:

1) تعریف شاخص‌های آماری و درک کاربردهای آن؛

2) تعریف خط فقر و نحوه محاسبه آن؛

3) تعریف خط فقر بین‌المللی و درک رابطه آن با مبلغ یارانه دریافتی و دانستن نحوه محاسبه آن؛

4) تعریف شاخص بهای کالا و مصرف و برآورد هزینه‌های سال جاری و سال به‌خصوص با توجه به نمودار شاخص بهای کالا و مصرف و داشتن هزینه‌های سال پایه؛

5) فرمول نرخ تورم و درک محاسبه آن.

مطالبی برای معلم

موضوع: چگونه باید انگیزه دانش‌آموزان را در درس آمار افزایش داد؟

یکی از این روش‌های محبوب یادگیری برای دانش‌آموزان ایجاد انگیزه است. «تجزیه‌وتحلیل داده»، انگیزه بسیار خوبی برای یادگیری دانش‌آموزان است.

اگر دانش‌آموزان «استنباط از داده‌ها» را یاد بگیرند، پاسخ بسیاری از سؤالات اطراف خودشان را پیدا می‌کنند. تجزیه‌وتحلیل و استنباط از داده‌ها باید به این منجر شود که دانش‌آموز راه رسیدن به «تصمیم‌گیری» را بیاموزد؛ بنابراین، یک عنوان بسیار مهیج برای ایجاد انگیزه این است که به دانش‌آموزان بگوییم آن‌ها می‌خواهند یاد بگیرند که «چگونه می‌توان تصمیم‌گیری درست اقتصادی انجام داد»

البته باید دقت کنیم که این امر به‌طور غیرمستقیم انجام شود؛ زیرا دانش‌آموزان در تصمیم‌گیری علت را نمی‌خواهند. همچنین باید دقت داشته باشیم حتی آمارگیرها در زندگی خودشان به‌ندرت از روش‌های آماری برای تصمیم‌گیری استفاده می‌کنند. (برای اثبات باید از یک آماری بپرسیم چند بار در زندگی خصوصی، به‌طور مستقیم، از تجزیه‌وتحلیل واریانس به‌منظور تفسیر تصمیم‌گیری کرده است؟) شاید یکی از عواملی که تصمیم‌گیری را مشکل می‌کند پیچیدگی رابطه بین متغیرهاست.

شرکت‌های بزرگ چگونه تصمیم‌گیری می‌کنند؟

به‌یقین می‌توان حدس زد که مبنای بسیاری از «تصمیم‌گیری»ها تجزیه‌وتحلیل آماری داده‌هاست. اصطلاح «تصمیم‌گیری» تقریباً همیشه فاقد یقین است، و در نتیجه بهترین وسیله برای تصمیم‌گیری، استفاده از اطلاعات حاصل از تجربه یعنی آمار است.

عنوان جذاب دیگری که می‌تواند یادگیری را در دانش‌آموزان بالا ببرد، این است که بگوییم می‌خواهیم «پیش‌بینی کردن» را بیاموزیم. برای نمونه، موضوعات پیش‌بینی می‌تواند موارد زیر باشد:

– متوسط درآمد سالانه در طول چند سال آینده؛

– طول عمر؛

– آیا فردا باران می‌آید؟

در این روند، با این وعده که دانش‌آموزان قرار است یاد بگیرند چگونه پیش‌بینی‌های دقیق داشته باشند، زمینه‌های یادگیری فراهم می‌شود.

اکثر دانش‌آموزان به دانستن اینکه چگونه به‌درستی می‌توان پیش‌بینی کرد، بسیار علاقه‌مند هستند. ما با استفاده از این علاقه‌مندی می‌خواهیم زمینه‌های یادگیری و درک ماندگار در آمار را برای آنان ایجاد کنیم.

بنابراین ما می‌خواهیم آمار را به‌عنوان مجموعه‌ای از روش‌ها برای کمک به ایجاد پیش‌بینی‌های دقیق آموزش دهیم.

شکی نیست که ما می‌توانیم این کار را به‌خوبی انجام دهیم؛ زیرا دانش آمار مانند کلیدی است برای رمزگشایی از مجموعه‌ای از پیش‌بینی‌های بهینه.

روش تدریس

مجموعه سؤالات آغازین درس (صفحه ۶۳)

در این مجموعه سؤالات بنا داریم تا توجه دانش‌آموزان را به مسئله «پیش‌بینی» و مفید بودن جمع‌آوری مجموعه‌ای از داده‌های آماری در فواصل زمانی مساوی و منظم جلب کنیم. این مجموعه گردآوری‌شده را «سری زمانی» می‌نامیم. در حقیقت، یک نوع ساده پیش‌بینی در آمار این است که اطلاعات گذشته را اساس کار پیش‌بینی آینده قرار دهیم.

کتاب ریاضی پایۀ دوازدهم به مبحث آمار و احتمال اختصاص‌یافته است. این فصل شامل سه درس است. در درس اول مفهوم شمارش مطرح می‌شود و شامل قواعد اصل ضرب، اصل جمع، جایگشت تبدیل و ترکیب است، که هر یک از این قواعد در نظریه احتمال نقش اساسی ایفا می‌کنند. در درس دوم با استفاده از مفاهیم پدیده تصادفی، فضای نمونه، پیشامد، اعمال روی پیشامدها و مفهوم احتمال تشریح می‌گردد و در درس سوم مفهوم چرخه آمار و مسائل مربوط به آن بیان می‌شود.

آمار و احتمال به‌عنوان دو علم، مدل‌هایی را در اختیار قرار می‌دهند که برای مطالعه عدم حتمیت‌ها به کار می‌روند. انتخاب کالایی از محصولات یک کارخانه، عدد رو شده در برتاب یک تاس، وضعیت آب‌وهوا و … همه مواردی از وجود عدم قطعیت هستند. بررسی این‌گونه مسائل به شمارش تعداد حالات رخدادها مربوط می‌شود. در حقیقت بسیاری از مسائلی را که ماتحت عنوان عدم حتمیت با همان احتمال مطرح می‌کنیم می‌توانیم با استفاده از اصول و قواعد شمارش به‌سادگی بررسی کنیم.

در این فصل، هر مبحث درس با فعالیتی آغاز می‌شود، سپس با نتیجه‌گیری از حل فعالیت، قوانین آن را گفته و سؤالات متنوعی ارائه‌شده است.

ترکیبات (آنالیز ترکیبی) یکی از شاخه‌های مهم ریاضیات است که سریعاً در حال رشد می‌باشد. یکی از علل رشد سریع ترکیبیات، ورود کامپیوتر در صحنه علم و جامعه است. روش‌های ترکیبیاتی فقط کاربرد ریاضی یا فیزیکی ندارند بلکه در علوم دیگر مانند اجتماعی و بیولوژی نیز کاربرد دارند. ریاضی‌دانان چینی، هندی و یونانی از قرن نخست میلادی با فرمول‌های مربوط به آرایش‌ها و ترکیب‌ها آشنایی داشتند. ترکیبیات ارتباط تنگاتنگ با نظریه احتمالات دارد و در قرون هفدهم و هجدهم، بسیاری از ریاضی‌دانان اروپایی به مطالعه احتمالات ترکیباتی پرداخته بودند.

در آنالیز ترکیبی یا علم شمارش در سطوح مقدماتی، فقط از اصول جمع و ضرب برای شمارش استفاده می‌شود، حال آنکه شمارش می‌تواند توسط ابزارهای دیگر با اصول دیگری نیز انجام شود، یکی از این ابزارها گراف‌های جهت‌دار و ماتریس‌های مجاورت وابسته به این گراف‌ها، توأم با اصل ضرب است. همچنین از اصولی چون اصل لانه‌کبوتری و اصل شمول و عدم شمول نیز می‌توان برای شمارش و حل مسائل شمارشی در آنالیز ترکیبی استفاده نمود.

بازی‌هایی که متکی بر شانس است، از زمان‌های بسیار دور رایج و متداول بوده است. در حفاری‌های مربوط به باستان‌شناسی، برخی وسایل و آثار مربوط به بازی‌های شانسی مشاهده‌شده است. با این شواهد به نظر می‌رسد که نوعی تصور خام از احتمال در تصمیم‌گیری‌ها مؤثر بوده است. در آغاز نخستین بحث‌های صوری ریاضی در احتمال، اغلب نویسندگان، کاردانو را نخستین نویسنده در احتمال معرفی می‌کنند. اثر او کتابی با نام «بازی‌هایی با تاس» است. کارهای اولیه ریاضی‌دانان در زمینه تئوری احتمال از قرن هفدهم شروع شد با توجه به پیشرفت در زمینه ریاضیات به‌ویژه در احتمال، آغاز قرن بیستم دوران احتمال مدرن نام گرفت. در این دوره، ریاضی‌دانان به‌خوبی آگاه بودند که در احتمال، عوامل تجربی بیشتر از علوم قدیمی‌تر مانند هندسه و آنالیز دخالت دارند. در نتيجۀ بحث‌های جدی که در این زمینه آغازشده بود، کولموگروف موفق به کشف بزرگ خود شد.

او توانست احتمال را بر اساس اصول موضوعی در قالب تئوری اندازه بنا نهد. از او کتابی به نام «مبانی تئوری احتمال» در آلمان به سال ۱۹۳۳ منتشر شد و پایه بنای تئوری احتمال مدرن شد.

1) آشنایی با برخی روش‌های شمارش

2) آشنایی با مفاهیم اصل جمع و اصل ضرب و به‌کارگیری آن‌ها در حل مسائل

3) آشنایی با نماد فاکتوریل و توانایی محاسبه مسائل شامل آن

4) به‌کارگیری اصل ضرب برای رسیدن به مفهوم جایگشت

5) آشنایی با مفهوم جایگشت و به‌کارگیری آن در حل مسائل

6) به‌کارگیری اصل ضرب برای رسیدن به مفهوم تبدیل

7) آشنایی با مفهوم تبدیل و به‌کارگیری آن در حل مسائل

8) به‌کارگیری اصل ضرب و مفهوم تبدیل برای رسیدن به مفهوم ترکیب

9) آشنایی با مفهوم ترکیب و به‌کارگیری آن در حل مسائل

10) توانایی طرح مسائلی که پاسخ آن‌ها با استفاده از اصل جمع یا اصل ضرب است.

روش تدریس

از حوزه ترکیبیات، «شمارش» به‌عنوان یکی از مباحث مهم ترکیبیاتی محسوب می‌شود. یکی از مسائلی که ترکیبیات را از دیگر شاخه‌های ریاضی متمایز می‌کند این است که آموختن آن نیاز به اطلاعات خاصی از ریاضیات ندارد و ماهیت اکثر مسائل ترکیبیاتی، به‌گونه‌ای است که دانش‌آموزان، در سطوح مختلفی از دانش ریاضی امکان اقدام به حل آن را دارند. تنوع مسئله‌های شمارشی، بسیار زیاد است و دانش‌آموزان در دوره اول متوسطه تا حدودی با مسئله‌های شمارشی آشنا شدند.

موضوع این درس، معرفی برخی ابزارها برای شمارش است، بدون اینکه نیاز به شمردن تک تک اشیا باشد و این ابزارها اصل جمع، اصل ضرب، جایگشت، تبدیل و ترکیب می‌باشند.

در صفحۀ ۲، ورود به مطلب با فعالیتی آغاز می‌شود. بهتر است در ابتدای تدریس برای ایجاد انگیزه و علاقه‌مند نمودن دانش‌آموزان به موضوع درس برای یادگیری، سؤال کاربردی فعالیت کتاب که انتخاب کتاب‌های مختلف از کتابخانه مدرسه است. در کلاس مطرح‌شده و با روش پرسش و پاسخ به گفت‌وگو پرداخته شود و سپس دانش‌آموزان با تکمیل فعالیت کتاب، مفهوم اصل جمع را بهتر متوجه می‌شوند.

توصیه‌های آموزشی

• برای پرورش «تفکر ترکیبیاتی» در دانش‌آموزان، بهتر است بعضی از مسائل را به‌طور شهودی برای آنان بیان نمود. به‌عنوان‌مثال، تعداد طرق نشستن سه دانش‌آموز روی سه صندلی خالی، که درواقع چیزی که مهم است، وضعیت افراد نسبت به یکدیگر می‌باشد، که برای نفر اول سه انتخاب، برای نفر دوم دو انتخاب و برای نفر سوم یک انتخاب وجود دارد. وقتی دانش‌آموزان مفهوم جایگشت را به‌طور شهودی می‌بینند، آن را یاد گرفته و می‌توانند در حل مسائل متنوع به‌کارگیرند یا مانند فعالیت صفحه ۸ کتاب که تعداد زیرمجموعه‌های سه عضوی از مجموعه چهار عضوی، به‌طور شهودی در جدول نشان داده‌شده است و کاملاً برای دانش‌آموزان قابل‌درک خواهد بود.
• بهتر است در ابتدای درس، هر یک از دانش‌آموزان به‌طور انفرادی، با فعالیت مطرح‌شده در کتاب درگیر شوند و نظرات خود را در کلاس بیان کنند و با بازتاب بر نظرات یکدیگر، بحث‌ها را پیش ببرند. در این زمان، معلم نقش هدایت‌کننده بحث‌ها را خواهد داشت. سعی شود از ابراز نظر صریح خودداری گردد مگر زمانی که یک راهنمایی مناسب بیان شود جهت‌گیری بحث‌های کلاسی به‌گونه‌ای باشد تا زمینه را برای تعمیم مسئله یا موضوع به حالت‌های کلی‌تر فراهم کند. به این شکل دانش‌آموزان برای ورود به مباحث بعدی آماده می‌شوند و در آخر می‌توانند ارتباط مفهومی بین مباحث مختلف ترکیبیانی را بیابند.
• از طرح مسائل سخت و پیچیده پرهیز شود. می‌توان مسائل متنوع دیگری در محدوده مطالب کتاب درسی و در همان چهارچوب مطرح نمود تا به درک بهتر دانش‌آموزان از درس کمک نماید.

اشتباهات رایج دانش‌آموزان

ماهیت اشتباهات دانش‌آموزان در حل مسائل ترکیبیاتی، هنگام رویارویی با مسئله‌های به‌ظاهر یکسان، نشانه بدفهمی آنان می‌باشد. بعضی دانش‌آموزان فقط فرمول حفظ می‌کنند، بدون اینکه درک درستی از مفاهیم و قواعد آن داشته باشند.

اشتباهات رایج دانش‌آموزان از قبیل استفاده نادرست از نمودار درختی، تکرارهای نادرست، عدم درک درست از مفاهیم جایگشت، تبدیل و ترکیب و به‌کارگیری نادرست از آن‌ها در حل مسائل می‌باشد.

بهتر است قبل از به‌کارگیری قواعد ترکیبیاتی در حل مسائل متنوع، این قواعد را با هم مقایسه کنند و تفاوت آن‌ها را تشخیص دهند.

دانستنی‌هایی برای معلم

تاریخچه و مفهوم احتمال

درواقع شانس و عدم قطعیت تاریخچه‌ای به درازای تمدن بشریت دارد.

گفته می‌شود که شواهدی از بازی‌های شانسی در ۳۵۰۰ سال قبل از میلاد به‌دست‌آمده در مصر و … و تاسی شبیه تاس کنونی در مصر به‌دست‌آمده است. متأسفانه بازی‌های شانسی و تاس نقش مهمی در توسعۀ تئوری احتمال داشته است. تئوری احتمال به‌طور ریاضی (توسط پاسکال و فرما) در قرن ۱۷ آغاز شد که سعی در حل و به دست آوردن احتمال دقیق در برخی مسائل بازی‌های شانسی به‌طور ریاضی داشتند البته قبل از آن‌ها نیز کاردان و گالیله (قرن ۱۶) به حل چنین مسائلی به‌طور عددی پرداخته‌اند.

از قرن هفدهم مرتباً تئوری احتمال توسعه یافت و در رشته‌های مختلف به کار گرفته شد. امروزه احتمال در اغلب زمینه‌های مهندسی و علوم مدیریت ابزار مهمی است و حتی استفاده از آن در پزشکی رفتارشناسی، حقوق و…. مطرح است.

با وجود کاربرد وسیع احتمال و علی‌رغم اینکه چنین مفاهیمی را دائماً در زندگی روزمره استفاده می‌کنیم، تعریف علمی یگانه‌ای برای احتمال، وجود ندارد و در طول تاریخ رشد تئوری احتمال، تعاریف مختلفی از احتمال شده است که هر یک بعداً موردانتقاد دیگران قرارگرفته است.

تعریف کلاسیک احتمال

(توسط پاسکال در قرن ۱۷): اگر در یک آزمایش تصادفی تعداد کل نتایج ممکنه N باشد. احتمال واقعه A از عبارت است از:

تعریف فراوانی نسبی (تعریف آماری)

این تعریف اولین بار در قرن جاری (۱۹۵۷) توسط Von Mises برای اصلاح تعریف کلاسیک معرفی شد. اگر آزمایش تصادفی را n بار انجام دهیم، برای n بزرگ داریم:

تعریف ذهنی Subjective

نگرش به‌احتمال به‌عنوان معیاری از میزان اعتقاد به یک امر است. مثلاً وقتی می‌گوییم فلان متهم به‌احتمال ۷۰٪ مجرم است در اینجا احتمال بیانگر میزان اعتقاد ما به حقیقت یک امر می‌باشد. البته این بسیار به قضاوت کننده بستگی دارد و ممکن است با همان دلایل و مدارک شخص دیگری بگوید به‌احتمال ۹۰% مجرم است.

همه تعاریفی که تا اینجا مطرح‌شده اشکالاتی دارند که از آن‌ها به‌عنوان مبنای یک تئوری ریاضی نمی‌توان استفاده کرد.

تعریف اصولی Axlomatic Definition

این تعریف توسط کلموگروف ارائه شد. البته سال‌ها طول کشید تا موردتوجه قرار گیرد. در اینجا احتمال بر مبنای تئوری اندازه ارائه می‌شود و به هر واقعه عددی که احتمال آن واقعه نامیده می‌شود و باید در اصول موضوعه سه‌گانه صدق کند نسبت داده می‌شود. اینکه چه عددی بر هر واقعه نسبت داده شود با فرض ارضای شرایط اصول موضوعه دلخواه است و ممکن است تطابق کامل با واقعیت نداشته باشد اما با فرض صحت این احتمالات مفروض برای واقعه‌ها با استفاده از تئوری احتمال می‌توانیم احتمال وقایع دیگر موردنظرمان را به دست آوریم.

1) یادآوری و تکمیل مفاهیم مربوط به آزمایش تصادفی فضای نمونه‌ای و پیشامدهای تصادفی

2) مشخص کردن پیشامدهای تصادفی در حالت‌های مختلف و یافتن تعداد اعضای آن‌ها با ابزارهای شمارش

3) آشنا شدن دانش‌آموزان با جبر پیشامدها و اعمال روی پیشامدها و استفاده از آن‌ها در مسائل مربوط به‌احتمال

4) استفاده از جایگشت، تبدیل و ترکیب در حل مسائل احتمال

روش تدریس

این درس با معرفی آزمایش تصادفی و قطعی و تمایز بین آن‌ها به‌عنوان مقدمه آغازشده است. سپس با معرفی و تکمیل مفاهیم و اصطلاحات احتمال زمینه‌های لازم برای حل مسائل احتمال که در زندگی روزمره دانش‌آموز می‌تواند با آن‌ها روبه‌رو شود فراهم می‌گردد.

یادآوری شاخص‌ها نمودارها، اصطلاحات و مفاهیم آماری پایه‌های پیشین

یادآوری و درک منطق انتخاب شاخص‌ها و نمودارهای آماری

آشنایی با چرخۀ حل مسائل آماری به‌عنوان الگویی برای آماری فکر کردن

درک روش به دست آوردن نتایج آماری و پرسیدن پرسش‌های تعیین‌کننده با توجه به بستر و زمینۀ مسئله

پرورش نگاه نقادانه به مسائل و نتایج آماری و ارائه پیشنهاد مناسب

مبحث الگوهای خطی اختصاص‌یافته است. در این فصل با استفاده از ارتباطات مفهومی میان مفاهیم ریاضی و غیر ریاضی، موقعیت‌ها و وضعیت‌های واقعی مورد تجزیه‌وتحلیل قرارگرفته و در موارد مناسب مدل‌سازی شده‌اند.

این فصل شامل دو درس است. در درس اول، ابتدا مفهوم مدل‌سازی برای بررسی مسائلی از دنیای واقعی یادآوری شده است و همچنین کاربردی دیگر از مجموعه اعداد طبیعی و رفتار تابع در این مجموعه بررسی می‌شود. از نمایش‌های ریاضی (نمودارها، نقشه‌ها، جدول‌ها، نمادها و علائم و …) به‌عنوان ابزاری برای فهم، درک، تجزیه‌وتحلیل مفاهیم ریاضی استفاده‌شده است. سپس با استفاده از مفاهیم الگو و تابع مفهوم دنباله تشریح شده و نحوۀ به دست آوردن جمله عمومی د دنباله به‌صورت رابطه بازگشتی و نمایش تابعی آن بیان می‌شود و نشان می‌دهد که مفاهیم ریاضی با یکدیگر در ارتباط هستند و شناخت این ارتباطات، درک و یادگیری مفاهیم ریاضی را عمیق‌تر می‌سازد. در درس دوم به مفهوم دنباله حسابی و مسائل مربوط به آن پرداخته‌شده است. ویژگی دنباله حسابی و شباهت آن با تابع خطی، پیدا کردن جمله عمومی آن و مجموع n جمله اول یک دنباله حسابی همراه با مثال‌ها و مسائل متنوعی مطرح می‌شود. در این فصل، قبل از ورود به مبحث موردنظر، مسائلی واقعی از محیط پیرامون و زندگی روزمره در قالب فعالیت‌های متنوع مطرح‌شده‌اند و هدف از این قسمت. ایجاد انگیزه و فعال‌سازی دانش‌آموزان و درگیر کردن عملی آن‌ها برای ساختن مفاهیم جدید است که پس از پاسخ به فعالیت‌ها و نتیجه‌گیری از آن، به مفهوم موردنظر پی ببرند.

اهداف کلی فصل الگوهای خطی عبارت است از:

1) نگاهی کاربردی به مفاهیم ریاضی در توصیف پدیده‌های متفاوت محیط پیرامون و معنادار دیدن مفاهیم ریاضی.

2) به‌کارگیری نمایش‌های ریاضی برای مدل‌سازی و تفسیر و درک پدیده‌های مختلف.

3) ارتباطات مفهومی میان مفاهیم ریاضی و غیر ریاضی و تجزیه‌وتحلیل موقعیت‌ها و وضعیت‌های واقعی.

4) آشنایی با الگوهای خطی در برخی پدیده‌هایی از دنیای واقعی.

5) آشنایی با مفهوم دنباله و رسم نمودار آن.

6) آشنایی با مفهوم دنباله حسابی و به‌کارگیری آن در توصیف برخی پدیده‌های مختلف.

7) توانایی در «حل مسئله» و طرح مسائل «باز پاسخ» و به‌کارگیری راهبردهای حل مسئله.

8) ارتقای نگرش مثبت به ریاضی به‌عنوان ابزاری قدرتمند و اساسی برای درک و حل مسائلی از دنیای واقعی.

1) یادآوری مدل‌سازی مسائلی از دنیای واقعی و تفسیر نمودار تابع آن‌ها.

2) به‌کارگیری نمایش‌های مختلف ریاضی برای درک بهتر و تجزیه‌وتحلیل مفاهیم ریاضی.

3) تشخیص دامنه توابع مدل شده ریاضی با استفاده از مفاهیم اساسی اعداد طبیعی و اعداد حقیقی.

4) آشنایی با کاربردی دیگر از مجموعه اعداد طبیعی و درک رفتار تابع در این مجموعه.

5) آشنایی با مفهوم الگوهای خطی و ارتباط آن‌ها با دنیای واقعی.

6) آشنایی با مفهوم دنباله و رسم نمودار آن.

7) تشخیص الگوی موجود در برخی دنباله‌ها و پیدا کردن رابطه بازگشتی و نمایش تابعی آن‌ها.

8) توانایی در حل مسئله ریاضی و حل مسائلی از دنیای واقعی.

روش تدریس

ورود به مطلب درس با فعالیتی آغازشده است و سؤالات آن مثال‌های عینی هستند که یادآوری مفهوم مدل‌سازی در مسائلی از دنیای واقعی می‌باشد و مروری بر مفهوم تابع چند ضابطه‌ای، تعیین دامنه و برد و رسم نمودار آن است. همچنین در این فعالیت تفاوت نمودار تابع سؤال قسمت ۱ و ۲ را نشان می‌دهد، که تأکید بر تأثیر دامنه تابع بر روی نمودار آن را دارد در فعالیت‌ها از نمایش‌های متفاوت ریاضی (نمودارها، جدول‌ها، نمادها و علائم و …) برای مدل‌سازی و تفسیر و درک مفاهیم ریاضی در پدیده‌های مختلف استفاده‌شده است.

کار در کلاس صفحه ۴۸، در قسمت ۱، سؤالات باز پاسخ مطرح‌شده و هدف از آن، تشخیص و تعیین دامنه توابع مدل شده ریاضی برخی مسائل از دنیای واقعی است و در قسمت ۲، طرح سؤالات باز پاسخ خواسته‌شده و هدف از آن، پرورش خلاقیت و توانایی در طرح مسائلی از دنیای واقعی است که دامنه آن‌ها مجموعه اعداد طبیعی یا مجموعه اعداد حقیقی می‌باشد. بهتر است برای ایجاد انگیزه و علاقه‌مند نمودن دانش‌آموزان برای یادگیری، با روش پرسش و پاسخ در کلاس به گفت‌وگو پرداخت تا آنان ایده‌های خود را بیان نمایند.

همان‌طور که از نام اعداد طبیعی پیدا است، اولین دسته از اعداد هستند که به‌طور طبیعی در مسیر سیر تفکر ریاضیات ظاهرشده و به وجود آمده‌اند و در تعیین دامنه تعریف برخی توابع از آن استفاده می‌شود.

4، کاربردی دیگر از مجموعه اعداد طبیعی با طرح مسئله‌ای کاربردی بیان‌شده است و هدف بررسی رفتار تابع با توجه به تغییر داشته تعریف آن می‌باشد. دانش‌آموزان از دورۀ اول متوسطه با مجموعه اعداد طبیعی و مجموعه اعداد حقیقی آشنایی دارند. حال در رویارویی با این‌گونه مسئله‌ها و تغییری که در رفتار یک تابع با توجه به انتخاب دامنه آن از مجموعه اعداد طبیعی ایجاد می‌شود، با مفاهیم اساسی اعداد طبیعی آشنا می‌شوند. این مبحث درس درواقع پیش‌نیازی برای بیان مفهوم دنباله است.

فعالیت صفحه ۵۰، مسئله‌ای مربوط به کاربرد سری زمانی در علم اقتصاد است. همان‌طور که در کتاب ریاضی یازدهم خوانده شد منظور از یک سری زمانی، مجموعه‌ای از داده‌های آماری است که در فواصل زمانی مأوی و منظمی جمع‌آوری‌شده باشند. تعیین الگوی مناسب یکی از مسائل مهم در مدل‌سازی و پیش‌بینی سری‌های زمانی، با توجه به مکانیسم سیستم موردنظر است. اغلب، بدون بررسی خطی یا غیرخطی بودن سیستم از مدل‌های رایج خطی سری زمانی استفاده می‌شود.

تشخیص ارتباط مفهومی میان مفاهیم الگوهای خطی و دنباله حسابی.

آشنایی با مفهوم دنباله حسابی و یافتن اختلاف مشترک آن.

شناسایی و تشخیص دنباله حسابی در بین دنباله‌ها و به دست آوردن جمله عمومی آن.

آشنایی با قواعد دنباله حسابی و به‌کارگیری آن‌ها در حل مسائل.

شناخت کاربرد مفهوم دنباله حسابی در برخی پدیده‌های دنیای واقعی.

مهارت دریافتن مجموع n جمله اول یک دنباله حسابی.

توصیه‌های آموزشی

برای ایجاد انگیزه در دانش‌آموزان به یادگیری درس، با توجه به نمونه مسائلی از دنیای واقعی که در فعالیت‌ها و تمرینات این فصل مطرح‌شده است. ترغیب شوند با دقت به محیط پیرامون خود. مثال‌هایی که مرتبط با موضوع و مفاهیم درس است را یافته و در کلاس ارائه دهند. این روش به پرورش خلاقیت دانش‌آموزان نیز کمک خواهد نمود.

با روش گفتمان ریاضی در کلاس، یعنی ارتباط کلامی دانش‌آموزان با یکدیگر و با معلم، باعث می‌شود معلم با بسیاری از تفکرات، ایده‌ها و بدفهمی دانش‌آموزان آشنا شده و امکان برطرف کردن آن‌ها را در کلاس و با مشارکت دیگر دانش‌آموزان پیدا کند. این مستلزم تمرکز و بازتاب بر فرایند حل مسئله ریاضی و به‌ویژه پس از ارائه پاسخ از طرف دانش‌آموزان است.

با نشان دادن ارتباط میان مفاهیم ریاضی مطرح‌شده، می‌توان دانش‌آموزان را در تثبیت و تعمیق مفاهیم آموزش داده‌شده، یاری نمود.

برای حل مسئله‌ها و تمرینات کتاب دانش‌آموزان را محدود به استفاده از یک روش خاص نکنیم و اجازه دهیم از روش‌های درست دیگر برای حل مسئله استفاده کنند.

سطح سؤالات ارزشیابی از محدوده مطالب کتاب فراتر نرود و در سطح مسائل مطرح‌شده در کتاب درسی باشد.

اشتباهات رایج دانش‌آموزان

معمولاً در رسم نمودار دنباله حسابی، به اشتباه نقاط را به هم وصل می‌کنند.

ممکن است در تشخیص و شناسایی اینکه کدام جمله عمومی با کدام نمودار از دنباله‌ها، مربوط به دنباله حسابی است. دچار اشتباه شوند.

برخی از دانش‌آموزان فقط فرمول حفظ می‌کنند بدون اینکه درک درستی از مفهوم و ویژگی مربوط به آن را داشته باشند و دچار بدفهمی و اشتباه می‌شوند.

ممکن است در حل مسئله‌ها براثر بی‌دقتی، خطاهای محاسباتی داشته باشند.

در این فصل با مبحث الگوهای غیرخطی و کاربرد آن‌ها در برخی زمینه‌های مختلف آشنا می‌شویم. این فصل شامل سه درس است، که در هر درس مدلی از الگوهای غیرخطی مطرح می‌شود. موضوع درس اول در مورد مبحث دنباله هندسی می‌باشد و ویژگی‌های خاص این دنباله، فرمول جمله عمومی و مجموع n جمله اول آن همراه با سؤالات متنوع و مسائلی از دنیای واقعی مطرح‌شده است. در دو درس بعدی به مباحث توانهای گویا و تابع‌نمایی و مسائل مربوط به آن‌ها پرداخته‌شده است. همه این مفاهیم مطرح‌شده به‌نوعی با هم در ارتباط هستند.

به‌عنوان نمونه رشد نمایی با یک تابع‌نمایی ساخته می‌شود و زمانی رخ می‌دهد که آهنگ رشد آن با مقدار تابع در هرلحظه متناسب باشد. حال اگر دامنه تابع از نقاط گسسته بافاصله‌های برابر ساخته‌شده باشد، گاهی به آن رشد هندسی هم می‌گویند. قبل از ورود به هر مبحثی از درس فعالیت‌هایی مطرح‌شده است، سپس با جمع‌بندی از نتایج آن، مفاهیم جدید بیان می‌شوند. سعی شده است مسائلی از دنیای واقعی مرتبط با موضوع درس مطرح شود که دانش‌آموزان آن‌ها را به‌خوبی درک کرده و بر اساس آن‌ها به مفاهیم ریاضی و کاربردشان در علوم دیگر و زندگی روزمره پی ببرند.

اهداف کلی فصل الگوهای غیرخطی عبارت است از:

1) آشنایی با الگوهای غیرخطی در برخی پدیده‌هایی از دنیای واقعی.

2) آشنایی با مفهوم دنباله هندسی و ارتباط آن با الگوهای غیرخطی.

3) به‌کارگیری مفهوم دنباله هندسی در توصیف پدیده‌های متفاوت محیط پیرامون و زندگی روزمره.

4) نشان دادن ارتباط میان مفاهیم مطرح‌شده در درس‌ها.

5) فراهم آوردن موقعیت حل مسئله برای فهمیدن و درک محتوای موضوعی و مفهومی ریاضی.

درگذشته کاربرد ریاضیات محدود به تبیین پدیده‌هایی با رفتارهای خطی می‌شد. در این ریاضیات تنها پدیده‌ها و سیستم‌های دارای رفتار خطی قابل‌فهم و درک ریاضی بودند. معادلات خطی، توابع خطی، جبر خطی، برنامه‌ریزی خطی و شتاب‌دهنده‌های خطی عرصه‌هایی بودند که مورد تاخت‌وتاز ریاضی‌دانان و عالمان این دوره قرار داشتند. درحالی‌که جهان واقعی کاملاً غیرخطی است و تناسب و رفتارهای خطی در پدیده‌های روزمره به‌ندرت قابل‌مشاهده است به این ترتیب چگونه می‌توان با منطق خطی، یک سیستم غیرخطی را درک کرد؟ سؤالی که باعث زایش ریاضیات جدیدی به نام نظریه آشوب و هندسه فرکتالی گردید که از شاخه‌های جدید ریاضیات با ارائه مفهوم جدیدی از بعد فیزیکی و مفهومی مانند «خود همانندی» است که در برابر تفسیر و شبیه‌سازی اشکال مختلف طبیعت انعطاف بی‌نظیری نشان داده است فرکتالها الگوهای غیرخطی ریاضی هستند و ساختاری هندسی دارند که با بزرگ کردن هر بخش از این ساختار به نسبت معین همان ساختار نخستین به دست می‌آید. به گفتاری دیگر فرکتال ساختاری است که هر بخش از آن با کلش همانند است.

از منظر تاریخی مطالعه مباحث مربوط به هندسه فرکتالی به سده نوزدهم برمی‌گردد. کارل را برشتراس در سال ۱۸۶۱ وجود تابعی را نشان داد که در کلیه نقاط پیوسته هستند ولی در هیچ نقطه مشتق ندارد. ریاضی‌دانان آن زمان این تابع را به‌عنوان حالتی خاص و استثنایی تلقی نمودند. در سال ۱۸۹۰ بتانو، منحنی فضا برکن خود را ارائه داد. ارائه این منحنی سبب تغییر نگرش نسبت به مفهوم بعد گردید، چرا که تا پیش از آن، بعد مجموعه را به‌عنوان تعداد متغیرهای مستقل مشخص‌کننده مجموعه تعریف می‌کردند. به‌عنوان نمونه مربع را جسم دوبعدی تصور می‌کردند. زیرا با دو متغیر طول و عرض مشخص می‌شود ولی با توجه به منحنی بتانو، برای مشخص کردن مربع یک پارامتر نیز کافی است. درواقع تعداد ابعاد قضا در هندسه اقلیدسی همواره عددی صحیح (غیر اعشاری) است. اما در فضای فرکتالی می‌تواند عددی اعشاری هم باشد. به همین ترتیب به‌مرور زمان مجموعه‌های دیگری مانند مجموعه کانتور مثلث سربیشکی و … به دنبال ریاضیات ارائه شدند. گام دیگری که در این راستا برداشته شد. مطالعه تکرار توابع گویا در صفحه اعداد مختلط، توسط دو ریاضی‌دان فرانسوی به نام های ژولیا و فاتو در حدود سال ۱۹۱۸ می‌باشد. امروزه مجموعه‌های ژولیا از معروف‌ترین شکل‌های فرکتالی می‌باشند این مباحث بیشتر به‌صورت موضوعات پراکنده و جدا از هم مطرح و بررسی می‌شدند تا اینکه ریاضی‌دان لهستانی مندلبروت در سال ۱۹۷۹ مباحث بسیاری از موضوعات دیگر را تحت عنوان هندسه فرکتالی جمع‌بندی و به دنیای علم عرضه کرد و در سال ۱۹۸۲ با انتشار کتاب معروف هندسه فرکتالی طبیعت، دوران شکوفایی هندسه فرکتالی آغاز شد. از این زمان به بعد، مطالعه راجع به فرکتال و کاربرد آن یکی از زمینه‌های تحقیقاتی فعال بوده است. فرکتال ها در مباحث مختلفی به کار برده شده‌اند: توصیف شکل اجسام طبیعی مانند ابرها، کوه‌ها، توصیف رشد بلورها، به دست آوردن الگویی برای شکست اجسام و فشرده‌سازی تصویر رایانه‌ای از جمله مواردی هستند که هندسه فرکتالی در آن‌ها به کار بسته شده است.

1) شناخت ارتباط میان مفاهیم الگوهای غیرخطی و دنباله هندسی.

2) آشنایی با مفهوم دنباله هندسی و ویژگی‌های آن.

3) توانایی دریافتن نسبت مشترک و جمله عمومی دنباله هندسی.

4) شناخت کاربرد مفهوم دنباله هندسی در برخی پدیده‌های دنیای واقعی.

5) مهارت در حل مسائلی از دنیای واقعی مرتبط با مفهوم دنباله هندسی و تفسیر نمودار آن‌ها.

6. مهارت دریافتن مجموع n جمله اول یک دنباله هندسی.

روش تدریس

ورود به مبحث درس با مسئله مشهور «پارادکس ژنو» آغازشده که مفهوم مجموع جملات دنباله هندسی در آن مستتر است. پارادکس به حکمی به‌ظاهر صحیح گفته می‌شود که منجر به تناقض می‌شود و یا با شهود مطابقت نمی‌یابند. برای ایجاد انگیزه و اینکه یادگیری اثربخش باشد، این مسئله با سؤالی از دانش‌آموزان مطرح‌شده است تا آنان به‌صورت عینی نتایج لازم را کسب نمایند.

توصیه آموزشی

در این درس، دستور مربوط به محاسبه مجموع جملات یک دنباله هندسی نا محدود (نسبت مشترک ) مدنظر نمی‌باشد و این مطلب باید در سؤالات ارزشیابی موردتوجه قرار گیرد.

¡ سطح دشواری سؤالات ارزشیابی کنترل شود و با توجه به مفاهیم آموزش داده‌شده و در محدوده مسائل و تمرینات کتاب درسی مطرح گردد.

¡ برای بهبود درک و مهارت‌های شناختی دانش‌آموزان در مورد موضوعات و مفاهیمی که در درس ارائه‌شده است، بهتر است روش یادگیری مشارکتی در کلاس به کار گرفته شود.

¡ یکی از راه‌های ایجاد تفکر ریاضی در دانش‌آموزان این است که آنان را ترغیب کنیم تا مسئله جدیدی از محیط پیرامون خود که مرتبط با مفاهیم درس است را بیابند و در کلاس مطرح کنند.

مهم نیست که مسئله ارائه‌شده، ساده و ابتدایی باشد، بلکه مهم این است که برای فکر کردن به این موضوع وقت گذاشته باشند و این فکر تازه باشد.

اشتباهات رایج دانش‌آموزان

¡ ممکن است برای پیدا کردن نسبت مشترک جملات دنباله هندسی دچار اشتباه شوند. مثلاً در یک دنباله هندسی که چند جمله اول آن داده‌شده، برای به دست آوردن نسبت مشترک، به جای اینکه جمله دوم را بر جمله اول تقسیم کنند، به عکس جمله اول را بر جمله دوم تقسیم می‌کنند.

¡ برخی بدفهمی‌های دانش‌آموزان در مورد عدم‌تشخیص درست نوع دنباله (حسابی، هندسی) در مسئله‌هایی از دنیای واقعی است، و به این دلیل می‌باشد که بعضی از آنان طوطی‌وار فرمول و قواعد ریاضی را حفظ می‌کنند، بدون اینکه درک درستی از مفاهیم درس داشته باشند. بهتر است به آنان گفته شود مفاهیمی که از دنباله‌ها آموختند را با هم مقایسه کرده و تفاوت‌ها را شناسایی و در کلاس بیان کنند.

1) درک مفهوم ریشه گیری و کاربرد آن در محاسبۀ ریشه‌های مختلف اعداد

2) درک مفهوم توانهای گویای اعداد حقیقی مثبت، ارتباط آن با مفهوم ریشه گیری و استفاده از این ارتباط برای حل مسائل مرتبط

3) تعمیم قوانین مرتبط با توانهای صحیح اعداد حقیقی برای توانهای گویای اعداد حقیقی مثبت

روش تدریس

دانش‌آموزان در پایه‌های قبل با مفهوم توانهای صحیح اعداد و ریشه‌های دوم و سوم اعداد و نحوه محاسبه آن‌ها آشنا شده‌اند. آن‌ها همچنین قواعد مرتبط با توان های صحیح اعداد و نحوه ساده کردن عبارت‌های توان دار را آموخته‌اند. بر همین اساس در ابتدا مروری بر آنچه دانش‌آموزان درگذشته در خصوص توان و ریشه یاد گرفته‌اند صورت می‌گیرد و سپس مفاهیم جدید ارائه می‌گردد.

به‌منظور مرور، دانش‌آموزان با انجام سؤال ۱ و ۲ فعالیت صفحه ۸۷، مطالب مرتبط با توان را مرور می‌کنند و با انجام سؤال ۳ فعالیت، به کمک مفهوم معادله و حل آن ضمن مرور مفهوم ریشه دوم و سوم اعداد و نحوه محاسبه آن‌ها، با ریشه‌های nام اعداد آشنا می‌شوند. در پایه‌های قبل نماد  که به‌عنوان ریشه دوم مثبت اعداد و نماد  که به‌عنوان ریشه سوم اعداد معرفی‌شده است. بر همین اساس در این درس ، برای n زمانی که زوج است به‌عنوان ریشۀ nام مثبت عدد a و برای n در حالتی که فرد است به‌عنوان همان ریشۀ nام عدد a معرفی می‌شود. در بخش پایانی فعالیت نیز دانش‌آموزان ریشه‌های nام اعداد را در حالت کلی ملاحظه می‌کنند.

در ادامه، با انجام کار در کلاس صفحه ۸۹ و ۹۰ مطالب ارائه‌شده در فعالیت قبل مورد تمرین قرار می‌گیرد و سعی می‌شود تا مفاهیم ارائه‌شده در ذهن دانش‌آموزان تثبیت شود. دانش‌آموزان با این دو قاعده که  و  درگذشته آشنا شده‌اند، در سؤال ۲ کار در کلاس با حل مثال‌هایی، این در قاعده را به حالت کلی تعمیم می‌دهند و درک می‌کنند که در حالت کلی برای هر  داریم:

قبل از انجام فعالیت صفحه ۹۱، دانش‌آموزان به‌عنوان نمونه با موقعیتی واقعی مواجه می‌شوند که در آن موقعیت برای مدل‌سازی یک موقعیت واقعی مجبوریم از توانهای گویا استفاده کنیم و به این درک می‌رسند. که در خیلی از موارد واقعی نیاز به استفاده از توان های غیر صحیح اعداد داریم و از این طریق به ضرورت آشنایی و استفاده از توانهای گویای اعداد در محاسبات پی می‌برند.

با انجام فعالیت صفحات 91، 92 و ۹۳، دانش‌آموزان با توانهای گویای اعداد حقیقی مثبت آشنا شده، با استفاده از مفهوم ریشه گیری به ارتباط بین توانهای گویای اعداد و ریشه‌های nام اعداد پی برده و با انجام مثال‌هایی نو، تبدیل اعداد توان دار به اعداد رادیکالی، را یاد می‌گیرند.

همچنین در پایان فعالیت و در صفحه ۹۳، قواعدی را که در خصوص توانهای صحیح اعداد یاد گرفته‌اند، به حالت کلی‌تر و برای توان های گویای اعداد حقیقی مثبت تعمیم می‌دهند.

در سؤال ۱ کار در کلاس صفحه 93 از دانش‌آموزان خواسته می‌شود تا عبارت‌های رادیکالی را به‌صورت عبارت‌های توان دار و برعکس نمایش دهند در سؤال ۲ کار در کلاس، حل مسئله ارائه‌شده قبل از فعالیت صفحه ۹۱ در خصوص لزوم استفاده از توانهای گویا، در شرایط مختلف مورد انتظار است. در سؤال ۳ و 4 به چگونگی ساده کردن اعداد و عبارت‌های توان دار می‌پردازد. در سؤال ۵ نیز توجه دانش‌آموزان به این نکته از تعریف توانهای گویای اعداد جلب می‌شود که در این کتاب توانهای گویای اعداد فقط برای اعداد حقیقی مثبت قابل تعریف است و در خصوص اعداد حقیقی منفی نمی‌توان از توان های گویای اعداد استفاده کرد. همچنین انتظار می‌رود دانش‌آموزان به این درک برسند که با اینکه می‌توان هر عدد با توان گویا را به‌صورت یک عدد رادیکالی نمایش داد، ولی هر عدد رادیکالی را نمی‌توان در قالب عددی با توان گویا نمایش داد. به‌عنوان‌مثال نمی‌توان  را به‌صورت  نمایش داد.

1) آشنایی با مفهوم تابع‌نمایی

2) مدل‌سازی بعضی از مسایل واقعی با استفاده از تابع‌نمایی

3) مقایسه توابع نمایی  برای دو حالت  و  

4) مقایسه تابع‌نمایی با تابع چندجمله‌ای

5) پیدا کردن مقدار تقریبی تابع‌نمایی  برای xهای گویا

6) آشنایی با معادلات کلی رشد و زوال نمایی و حل این معادلات

استفاده از ابزار و تکنولوژی

استفاده از ماشین‌حساب برای انجام محاسبات تقریبی با عددهای بزرگ و با عددهای گویا، بخشی از کار می‌باشد. همچنین معرفی نرم‌افزار «جتو جبرا» به دانش‌آموزان توصیه می‌گردد که اولاً با ویژگی‌های این نرم‌افزار آشنا شوند و ثانیاً از قابلیت‌های این نرم‌افزار در رسم توابع نمایی استفاده کنند. به‌عنوان نمونه، می‌توانند تابع  را برای مقادیر مختلف a، رسم نمایند و با مقایسه نمودارهای آن‌ها، بتوانند به سؤالات مطرح‌شده در متن درس و مقایسه آن‌ها با یکدیگر، پاسخ دهند.